ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯಮಕ್ಕನುಸಾರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಶ್ರೇಢಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶ್ರೇಢಿಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 2 , 6 , 10 , 14 , . . . {\ 2,6,10,14,...} ಈ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಮೊದಲನೇ ಶ್ರೇಢಿಪದ, 6 ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಢಿಪದ, 10 ಮೂರನೆಯದು. ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನೂ ಒಂದೊಂದು ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಶ್ರೇಢಿಯಿಂದ: ಇಲ್ಲಿ {\ } ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. == ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಗಳು == ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ: 1 , 2 , 3 , . . . {\ T_{1},T_{2},T_{3},...T_{}} ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 {\ 1,3,5,7,9,11,13,15} = { : ( 2 + 1 ) , 1 ≤ ≤ 15 } {\ =\{:(2x+1),1\ \ 15\}} ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ: 1 , 2 , 3 , . . . {\ T_{1},T_{2},T_{3},...} ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , . . . {\ 2,4,6,8,10,...} = { : 2 , > 0 } {\ =\{:2x,>0\}} == ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ == ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು (ಮೊದಲನೇ ಪದವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೂಡುವುದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು .. ( ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪದ ಮತ್ತದರ ಹಿಂದಿನ ಪದದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ( , .) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದನ್ನು {\ } ಇಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. 1 , 2 , 3 , 4 , . . . {\ T_{1},T_{2},T_{3},T_{4},...} = 2 − 1 = 3 − 2 = 4 − 3 . . . {\ =T_{2}-T_{1}=T_{3}-T_{2}=T_{4}-T_{3}...} ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಸಂಖ್ಯೆ, ಋಣಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಸೊನ್ನೆಯಿದ್ದರೆ, ಅಂಥಹ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. {\ } ಮೊದಲನೇ ಪದವು, {\ } ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾದರೆ, 1 = {\ T_{1}=} 2 = 1 + = + {\ T_{2}=T_{1}+=+} 3 = 2 + = ( + ) + = + 2 {\ T_{3}=T_{2}+=(+)+=+2d} 4 = 3 + = ( + 2 ) + = + 3 {\ T_{4}=T_{3}+=(+2d)+=+3d} ಹಾಗಾಗಿ, {\ } ಮೊದಲನೇ ಪದವಾಗಿ, {\ } ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು: , ( + ) , ( + 2 ) , ( + 3 ) , . . . {\ ,(+),(+2d),(+3d),...} === ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳು === ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 5 , 10 , 15 , 20 , 25 {\ 5,10,15,20,25} = { : ( 3 − 1 ) , 0 ≤ ≤ 50 } {\ =\{:(3x-1),0\ \ 50\}} ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಡಿಯನ್ನು ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , . . . {\ 5,10,15,20,25,...} = { : ( 3 − 1 ) , 0 ≤ } {\ =\{:(3x-1),0\ \}} ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ {\ } ಮೊದಲನೇ ಪದ ಹಾಗೂ {\ } ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ {\ } ನೇ ಪದವು = + ( − 1 ) {\ T_{}=+(-1)} ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. === ಶ್ರೇಣಿ === ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ {\ } ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. 1 , 2 , 3 . . . {\ T_{1},T_{2},T_{3}...T_{}} ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ 1 + 2 + 3 + . . . + {\ T_{1}+T_{2}+T_{3}+...+T_{}} ಅನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನಬಹುದು. ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು {\ S_{}} ಎಂದು ಶೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಹಾಗಾಗಿ, = 1 + 2 + 3 + . . . + {\ S_{}=T_{1}+T_{2}+T_{3}+...+T_{}} . ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಪದ {\ } , ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ {\ } ಆಗಿದ್ದು, {\ S_{}} ಮೊದಲ {\ } ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, = 2 [ 2 + ( − 1 ) ] {\ S_{}={\ {}{2}}\[2a+(-1)\]} ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ: 1 + 2 + 3 + . . . + {\ 1+2+3+...+} ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, = 1 , = 2 − 1 = 2 − 1 = 1 , = {\ =1,\ =T_{2}-T_{1}=2-1=1,\ =} = 2 [ 2 + ( − 1 ) ] = 2 [ 2 × 1 + ( − 1 ) 1 ] = 2 [ 2 + − 1 ] {\ S_{}={\ {}{2}}[2a+(-1)]={\ {}{2}}[2\ 1+(-1)1]={\ {}{2}}[2+-1]} = ( + 1 ) 2 = ∑ 1 {\ S_{}={\ {(+1)}{2}}=\ _{1}^{}} ಮೊದಲ {\ } ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ = ( + 1 ) 2 {\ ={\ {(+1)}{2}}} ಅಥವಾ ∑ 1 = ( + 1 ) 2 {\ \ _{1}^{}={\ {(+1)}{2}}} ಅಲ್ಲದೆ, = 2 [ 2 + ( − 1 ) ] {\ S_{}={\ {}{2}}[2a+(-1)]} ಅನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು: = 2 [ + { + ( − 1 ) } ] {\ S_{}={\ {}{2}}[+\{+(-1)\}]} ∴ = 2 [ + ] ∵ = + ( − 1 ) {\ \ S_{}={\ {}{2}}[+T_{}]\ \ \ \ \ \ \ T_{}=+(-1)} ∴ + 2 → {\ \ {\ {+T_{}}{2}}\ \ \ } ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪದಗಳ ಸರಾಸರಿ. == ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿ == ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡಿದರೆ ಅಂಥಹ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿ ( ) ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಇದನ್ನು .. ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಒಂದು ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆ ಪದವು {\ } ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು {\ } ಎಂದಾದರೆ, ಆ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು , + , + 2 , . . . , + ( − 1 ) {\ ,\ +,\ +2d,\ ...,\ +(-1)} ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ ಈ ಪದಗಳ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳು ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನುಂಟು ಮಾಡುತ್ತವೆ. ∴ 1 , 1 + , 1 + 2 , . . . , 1 + ( − 1 ) {\ \ {\ {1}{}},\ {\ {1}{+}},\ {\ {1}{+2d}},\ ...,\ {\ {1}{+(-1)}}} ∴ {\ \ } ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯ {\ } ನೇ ಪದವು, = 1 + ( − 1 ) {\ T_{}={\ {1}{+(-1)}}} ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವೆಂದರೆ, ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ {\ } ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವಿರುವುದಿಲ್ಲ. == ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿ == ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು (ಮೊದಲನೇ ಪದವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು.. ( ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1 , 3 , 9 , 27 , . . . {\ 1,3,9,27,...} 2 , 1 , 1 2 , 1 4 , . . . {\ 2,1,{\ {1}{2}},{\ {1}{4}},...} ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೇ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು 3 {\ 3} ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆದಿರುವುದನ್ನೂ, ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು 1 2 {\ {\ {1}{2}}} ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆದಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಇಂತಹ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ ( ) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದನ್ನು {\ } ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. 1 , 2 , 3 , 4 , . . . {\ T_{1},T_{2},T_{3},T_{4},...} ಗಳು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳಾದರೆ, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ, = 2 1 = 3 2 = 4 3 = . . . = − 1 {\ ={\ {T_{2}}{T_{1}}}={\ {T_{3}}{T_{2}}}={\ {T_{4}}{T_{3}}}=...={\ {T_{}}{T_{-1}}}} ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯೊಂದರ ಮೊದಲನೇ ಪದ {\ } ಎಂದೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತವು {\ } ಎಂದಾದಲ್ಲಿ, ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು , , 2 , 3 , 4 , . . . , − 1 {\ ,,^{2},^{3},^{4},...,^{-1}} ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ: ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ: = − 1 {\ T_{}=^{-1}} ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ {\ } ಇರುವ ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಕ್ರಮಾನುಗತ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು {\ } ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ: + 1 = × {\ T_{+1}=T_{}\ } ಅಲ್ಲದೆ, ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲು {\ } ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಪಡೆಯಬಹುದು: − 1 = ÷ {\ T_{-1}=T_{}\ } === ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿಗಳು === ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1 + 3 + 9 + 27 + . . . {\ 1+3+9+27+...} 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + . . . {\ 2+1+{\ {1}{2}}+{\ {1}{4}}+...} ==== ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೊದಲ ==== {\ } ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಮೊದಲನೇ ಪದವು {\ } ಆಗಿದ್ದು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ {\ } ಆಗಿರುವಂತಹ ಒಂದು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯು {\ S_{}} ಆಗಿರಲಿ. = + + 2 + 3 + . . . + − 1 {\ S_{}=++^{2}+^{3}+...+^{-1}} {\ S_{}} ಅನ್ನು {\ } ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, = + 2 + 3 + 4 + . . . + − 1 + {\ rS_{}=+^{2}+^{3}+^{4}+...+^{-1}+^{}} − = + + 2 + 3 + . . . + − 1 ( 1 − ) = − − 2 − 3 − 4 − . . . − − 1 − _ = + + 2 + 3 + . . . + − 1 = − − 2 − 3 − 4 − . . . − − 1 − _ = − {\ {\{}{10}S_{}-rS_{}&=++^{2}+^{3}+...+^{-1}\\S_{}(1-)&={\ {--^{2}-^{3}-^{4}-...-^{-1}-^{}}}\\&=+{\ {}}+{\ {^{2}}}+{\ {^{3}}}+...+{\ {^{-1}}}\\&={\ {{\ {-}}-{\ {^{2}}}-{\ {^{3}}}-{\ {^{4}}}-...-{\ {^{-1}}}-^{}}}\\&=-^{}\{}}} ∴ = ( 1 − ) 1 − ≠ 1 {\ \ S_{}={\ {(1-^{})}{1-}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ 1}